Геометрия и арифметика дискретных групп в пространствах Лобачевского

Примерно в 1970-х гг. Г.А.Маргулисом были получены знаменитые результаты о супержесткости и арифметичности, согласно которым всякая дискретная подгруппа конечного кообъема по мере Хаара в полупростой группе Ли вещественного ранга ${}> 1$ является арифметической, то есть, грубо говоря, соизмерима с группой целых точек какой-то алгебраической группы над вполне вещественным полем k алгебраических чисел.
В пространстве Лобачевского теорема Маргулиса об арифметичности неверна, в силу чего возникает богатая и разнообразная теория арифметических и неарифметических групп, а также гиперболических многообразий и орбифолдов. В частности, очень интересным и красивым подклассом групп оказались дискретные группы, порожденные отражениями, общую теорию для которых успешно развивал Э.Б.Винберг, начиная с 1967 года.
В докладе будет дан обзор этой области и рассказано о серии результатов (в том числе и недавних, полученных докладчиком в соавторстве с А. Колпаковым, а также с М. Белолипецким и Л. Славичем), связывающих арифметику и теорию групп с геометрией и топологией в пространствах Лобачевского. В частности, один из этих результатов дает новый критерий арифметичности гиперболических многообразий и орбифолдов конечного объема в терминах вполне геодезических подпространств, имеющих простое и удобное алгебраическое описание. В контексте этого критерия арифметичности мы обсудим интересные примеры, взятые из теории групп отражений, гиперболической теории узлов, а также из серии неарифметических «гибридов», построенных Громовым и Пятецким-Шапиро.