Фреймы Габора для суммы двух ядер Коши

Для данной функции $g\in L^2(R)$ и положительных параметров $\alpha,\beta$ рассмотрим систему Габора, состоящую из частотно-временных сдвигов функции $g$ по прямоугольной решетке с параметрами $\alpha,\beta$,
$g_{m,n}(x)=e^{2\pi i\beta m x}g(x-\alpha n)$, $m,n$- целые.
Один из основных вопросов анализа Габора — описать фрейм множество, т.е. пары параметров $(\alpha,\beta)$ такие, что система $g_{m,n}$ порождает фрейм в $L^2(R)$,
$\sum_{m,n}|(f, g_{m,n})|\asymp \|f\|^2$.
Полный ответ известен только для очень узкого класса функций. Такого рода результаты были получены Сейпом, Янсенном, Грохенигом, Ромеро, Стоклером и другими. Недавно автор, совместно с Куликовым и Любарским, нашел критерий для случая когда $g$ - рациональная функция. В частности, из этого критерия удалось получить описание фрейм-множества для рациональных функций типа Герглотца и другие результаты про рациональные функции. Для случая рациональных функций степени 2 анализ можно сделать исчерпывающим, т.е. полностью описать фрейм множество для любой такой функции. Для некоторых функций получается новый вид фрейм множеств. К тому же удается получить асимптотику констант во фрейм неравенстве при приближении к критической гиперболе.
Доклад основан на совместной работе с Куликовым и Любарским.