Периодические ветвящиеся случайные блуждания с иммиграцией на $\mathbb Z^d$

Рассматриваются ветвящиеся случайные блуждания (ВСБ) с иммиграцией с источниками ветвления, расположенными периодически на $\mathbb Z^d$. Оказывается, что такой процесс можно свести к ВСБ с двумя типами частиц и генератором $(A+Q)$, где операторы $A$ и $Q$ являются периодическими. Мы исследуем спектральные свойства этого оператора и получим асимптотическое поведение среднего числа частиц при $t\to\infty$ в надкритическом случае.