Локальные алгебры и аддитивные структуры на проективных многообразиях

Пусть $C$ — аддитивная группа поля комплексных чисел. Будем называть аддитивной структурой на $n$-мерном комплексном проективном многообразии $X$ регулярное действие группы $C^n$ на $X$ с открытой орбитой. Аддитивная структура позволяет рассматривать $X$ как эквивариантную компактификацию группы $C^n$. Тем самым мы получаем аддитивный аналог теории торических многообразий.
В 1999 году Брендан Хассетт и Юрий Чинкель установили замечательное соответствие между аддитивными структурами на проективных пространствах и локальными конечномерными алгебрами. Из этого соответствия следует, что при $n>5$ число классов эквивалентности аддитивных структур на $n$-мерном проективном пространстве бесконечно. Также соответствие Хассетта–Чинкеля позволяет определять полезные числовые инварианты локальных алгебр. В этих терминах удается решить некоторых задачи линейной алгебры, связанные с классификацией наборов коммутирующих нильпотентных операторов.
В докладе мы подробно обсудим элементарную версию соответствия Хассетта–Чинкеля и ее обобщение, которое приводит к классификации аддитивных структур на проективных гиперповерхностях. Будут рассмотрены аддитивные структуры на многообразиях флагов полупростых алгебраических групп и на торических многообразиях. Также мы опишем возможные применения этого метода для изучения компактификаций произвольных коммутативных линейных алгебраических групп.
Никаких специальных знаний у слушателей не предполагается.