Полиэдральные произведения, граф-произведения и $p$-центральные ряды

Мы описываем ограниченную алгебру Ли, ассоциированную с нижним $p$-центральным рядом граф-произведения групп $\mathbb{Z}_p$. В качестве приложения мы получаем изоморфизм между универсальной обертывающей алгебры Ли, ассоциированной с нижним $2$-центральным рядом для прямоугольной группы Коксетера и гомологиями петель пространства Дэвиса–Янушкевича. Доклад основан на статье [pa-ra24].
В торической топологии, гомотопической теории полиэдральных произведений и геометрической теории групп существует ряд результатов, возникающих парами – теоретико-групповой и теоретико-гомотопический, часто с аналогичными формулировками, но разными доказательствами. К ним относятся конструкции классифицирующих пространств для прямоугольных групп Артина и Кокстера, описание их когомологий и описание алгебр гомологий пространств петель полиэдральных произведений. Имеются весьма схожие описания коммутанта $RC'_K$ прямоугольной группы Коксетера $RC_K$ [pave16] и гомологий петель момент-угол комплекса $H_*(\Omega ZK)$ являющихся подалгеброй-коммутантом алгебры Понтрягина (гомологий петель) пространства Дэвиса-Янушкевича (полиэдральной степени бесконечномерного комплекского проективного пространства $H_*(\Omega (CP^{\infty})^K)$ [gptw16].
Данный доклад фокусируется на изучении связи между фундаментальной группой вещественного момент-угол комплекса $\mathcal{R}_\mathcal{K}$ и гомологиями петель для пространства Дэвиса-Янушкевича. Основной конструкцией в проведенной параллели является конструкция кольца Ли ассоциированного с центральной фильтрацией на группе. Вычисления проведенные в конструкции удается обобщить в на граф-произведение групп вида $\mathbb{Z}_p^{\mathcal{K}}$. Полученный результат эквивалентен построению функтора из категории групп в категорию p-ограниченных алгебр Ли, сохраняющего граф-произведения элементарных абелевых $p$-групп.
{pa-ra24} Панов Т. Е.; Рахматуллаев, Т. А. Полиэдральные произведения, граф-произведения и p-центральные ряды. Мат. сборник (2024), принято к печати; preprint: https://arxiv.org/abs/2402.11556
{pave16} Панов Т. Е., Веревкин Я.  А; Полиэдральные произведения и коммутанты прямоугольных групп Артина и Коксетера. Мат. сборник 207 (2016), No 11, 105–126
{gptw16} Grbic, Jelena; Panov, Taras; Theriault, Stephen; Wu, Jie. Homotopy types of moment-angle complexes for flag complexes. Trans. Amer. Math. Soc. 368 (2016), no. 9, 6663–6682