Предельные теоремы для марковских процессов

Излагаются результаты работ [1, 2], описывающие скорость сходимости маргинальных распределений марковских процессов к инвариантной мере в различных вероятностных метриках. С помощью модификации каплинга Васерштейна найдены новые достаточные условия равномерной эргодичности однородной марковской цепи. Эти условия выражены в терминах спектрального радиуса вспомогательного оператора. В качестве приложения установлен новый вариант центральной предельной теоремы для марковских цепей.
Кроме того, получены субэкспоненциальные оценки скорости сходимости бесконечномерных марковских процессов к инвариантному распределению в метрике Канторовича-Рубинштейна-Васерштейна. Для этого предполагается, что существует обобщенная функция Ляпунова, а нижние экскурсионные множества «малы» в определенном смысле. С помощью полученных результатов удается показать, что условие типа Веретенникова-Хасьминского достаточно для субэкспоненциальной сходимости к инвариантной мере распределений сильных решений стохастических дифференциальных уравнений с запаздыванием. Тем самым усилены соответствующие результаты работы [3].
Наконец, для нелинейных марковских процессов, получены достаточные условия, гарантирующие равномерную эргодичность процесса. Показано, что эти условия носят оптимальный характер. Также установлены экспоненциальные оценки скорости сходимости маргинальных распределений сильных решений уравнения Власова-Маккина к инвариантной мере.

Список литературы

1. O. A. Butkovsky, “Subgeometric rates of convergence of Markov processes in the Wasserstein metric”, Annals of Applied Probability, 2013 (to appear) , arXiv: 1211.4273.  
2. O. A. Butkovsky, A. Yu. Veretennikov, On asymptotics of Vaserstein's coupling for a Markov chain, preprint www.newton.ac.uk/preprints/NI11045.pdf
3. M. Hairer, J. C. Mattingly, M. Scheutzow, “Asymptotic coupling and a general form of Harris theorem with applications to stochastic delay equations”, Probab. Theory Related Fields, 149:1-2 (2011), 223–259