Алгебраические группы преобразований и эквивариантная симплектическая геометрия

За последние пару десятилетий наметилось активное взаимодействие между такими изначально не самыми близкими друг к другу областями математики как алгебраическая геометрия и симплектическая геометрия. В докладе будет рассказано о некоторых аспектах этого взаимодействия, в которых участвуют алгебраические группы преобразований.
С середины 80-х годов XX в., начиная с пионерской работы Луны-Вюста (1983), активно развивается теория эквивариантных компактификаций (более общо, открытых вложений) однородных пространств редуктивных алгебраических групп. Важные инварианты, играющие роль в теории, — сложность действия редуктивной группы $G$, определяемая как коразмерность типичной орбиты борелевской подгруппы $B<G$, и ранг действия, который можно определить как ранг фундаментальной группы типичной $B$-орбиты. В работах Кнопа 90-х годов была обнаружена связь между этими и другими инвариантами $G$-многообразия, с одной стороны, и симплектическими инвариантами индуцированного гамильтонова действия группы $G$ на его кокасательном расслоении, с другой стороны.
Многообразия сложности 0, называемые сферическими, допускают наиболее интересную и содержательную теорию. Они содержат открытую $G$-орбиту — сферическое однородное пространство. К их числу относятся многие классические пространства — многообразия флагов, симметрические пространства и др. Сферические пространства естественно возникают и в эквивариантной симплектической геометрии — одна из их характеризаций заключается в коммутативности алгебры инвариантных функций на кокасательном расслоении относительно скобки Пуассона. Это свойство и его “квантовая” версия — коммутативность алгебры инвариантных дифференциальных операторов на однородном пространстве — имеют важные приложения в гармоническом анализе. Класс однородных пространств с этим свойством активно изучался еще в прошлом веке (Гельфанд, Хелгасон), а в прошлом десятилетии — Винбергом и его учениками.
Результаты о структуре гамильтоновых действий редуктивных групп на кокасательных расслоениях делают естественным рассмотрение более общего класса гамильтоновых алгебраических многообразий. В совместных работах В. С. Жгуна и докладчика рассматривались гамильтоновы многообразия с инвариантными лагранжевыми подмногообразиями. Было показано, что они весьма близки по своим свойствам к кокасательным расслоениям указанных подмногообразий, в частности, у них совпадают образы отображения моментов. Обобщение этих результатов на некоторые коизотропные подмногообразия позволило бы концептуально доказать известную гипотезу Элашвили об индексах централизаторов элементов полупростой алгебры Ли, имеющую значение в теории интегрируемых систем.
Необходимые понятия будут по мере возможности введены и проиллюстрированы примерами в ходе доклада.