О новых оценках точности аппроксимации в центральной предельной теореме

В докладе рассматривается простейшая схема суммирования, в которой $X_1,X_2,\ldots,X_n$ – независимые одинаково распределённые случайные величины с нулевым средним, единичной дисперсией и конечным моментом третьего или четвёртого порядка. Далее $F_n(x)$ – функции распределения нормированных сумм
$$F_n(x)=\frac{X_1+X_2+\ldots+X_n}{\sqrt{n}}, $$
$G(x)$ – функция распределения стандартного нормального закона.
Обсуждаются две группы результатов, первая из которых связана с неравномерными оценками близости $F_n(x)$ и $G(x).$ Рассматриваются оценки величины $|F_n(x)-G(x)|,$ в которых единственное слагаемое, убывающее при росте $n$ как $1/\sqrt{n}$ есть модуль величины
$$\frac{\alpha_3}{6\sqrt{2\pi n}}(1-x^2)e^{-x^2/2}.$$
Остальные убывают быстрее. Последняя величина появлялась в работах Г. Крамера 1937 г. и К.-Г. Эссеена 1945 г. в качестве первого члена асимптотического разложения разности $F_n(x)-G(x).$ Для распределений с ненулевым моментом $\alpha_3$ третьего порядка предложенные оценки эквивалентны оцениваемой величине при всех $x\neq\pm1.$ Обсуждаются также традиционные неравномерные оценки.
Вторая группа результатов связана с модификациями тейлоровских разложений характеристических функций, которые появились в работе Х. Правитца 1991 г. Эти модификации позволяют существенно (иногда – в два раза) уточнить многие известные и получить новые неулучшаемые результаты. Обсуждаются два таких результата.