Аннотация:
Рассмотрим многообразие $X$ и группу всех его автоморфизмов. Изучим следующий вопрос: для каких многообразий X верно, что можно перевести любые $m$ точек в любые $m$ других для любого натурального $m$? Такие многообразия достаточно редки. Вопросы об $m$-транзитивности и о бесконечной транзитивности исследовались в разных постановках, например, для голоморфных автоморфизмов ${\mathbb C}^n$.
Пусть многообразие $X$ — аффинное алгебраическое. Поскольку с группой всех автоморфизмов работать неудобно, мы ограничимся только теми автоморфизмами, которые получаются композицией элементов однопараметрических унипотентных подгрупп в группе всех автоморфизмов. Они выражаются через локально нильпотентные дифференцирования алгебры функций $k[X]$. Различными авторами было построено несколько серий примеров таких многообразий, что уже эта группа действует $m$-транзитивно для всех $m$.
В работе Аржанцева–Фленнера–Калимана–Кутчебауха–Зайденберга было доказано, что все такие $X$ являются унирациональными. Однако неверно, что для любого унирационального мнообразия найдётся бирациональная модель, являющаяся бесконечно транзитивной. В совместной работе с Богомоловым и Каржемановым сделана попытка найти стабильно бирационально бесконечно транзитивную модель для унирационального многообразия, для которого выполнены некоторые специальные условия.
|
