МЕТОД ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПОЛИНОМОВ В МЕХАНИКЕ МИКРОПОЛЯРНЫХ И КЛАССИЧЕСКИХ УПРУГИХ ТОНКИХ ТЕЛ

Предложены различные параметризации областей однослойного и многослойного тонких тел. Создан новый тензорный аппарат для полного описания предложенных параметризаций и введен аппарат дифференциальных операторов для теорий тонких тел. Сформулированы фундаментальные теоремы для областей тонких тел при различных параметризациях.
Получены рекуррентные соотношения для полиномов Лежандра и Чебышева. Построена теория моментов относительно систем полиномов Лежандра и Чебышева. Получены системы уравнений движения и притока тепла и определяющие соотношения физического и теплового содержаний, а также граничные и начальные условия в моментах для теории тонких тел.
На основании развитого метода ортогональных полиномов (Лежандра и Чебышева) построены новые варианты теорий деформируемых твердых тонких тел (однослойных и многослойных) при различных параметризациях областей этих тел, среди которых новая параметризация более доступная к экспериментальному изучению.
Из вариационных принципов Лагранжа и Кастильяно, а также обобщенных вариационных принципов типа Рейсснера трехмерной микрополярной теории получены соответствующие вариационные принципы для теории тонких тел, а из последних выведены соответствующие вариационные принципы для теории тонких тел в моментах относительно систем полиномов Лежандра и Чебышева. Доказаны теоремы о минимуме стационарной точки лагранжиана и максимуме стационарной точки кастильяниана, а также теорема о единственности обобщенного решения краевых задач. Даны постановки связанной и несвязанной динамических задач в моментах для тонких тел.
Исходя из трехмерных уравнений микрополярного деформируемого твердого тела, получены уравнения микрополярных и расширенных микрополярных теорий оболочек, оболочек класса TS (тонких и пологих) и призматических оболочек в контравариантных компонентах тензоров напряжений и моментных напряжений. Выведены граничные условия. Даны сравнения уравнений некоторых теорий. Сформулированы кинематические гипотезы для теории тонких тел.
Найдены обратные тензоры-операторы к тензору-оператору уравнений движения в перемещениях для изотропного однородного материала и оператору напряжения, позволяющие расщеплять уравнения и граничные условия. Построен обратный матричный дифференциальный тензор-оператор к матричному дифференциальному тензору-оператору уравнений движения микрополярной теории упругости в перемещениях и вращениях как для изотропных однородных материалов с центром симметрии, так и для материалов, не обладающих центром симметрии. Получены уравнения по отдельности векторов перемещений и вращений. Как частный случай рассмотрена редуцированная среда. Выявлены случаи, при которых легко обратить оператор напряжения и моментного напряжения.
Из расщепленных уравнений классической (микрополярной) теории упругости получены соответствующие расщепленные уравнения квазистатической задачи теории призматических тел постоянной толщины в перемещениях (перемещениях и вращениях). Из последних систем уравнений в свою очередь выведены уравнения в моментах неизвестных векторных функций относительно любых систем ортогональных полиномов. Получены системы уравнений различных приближений (с нулевого по восьмого порядка) в моментах относительно систем полиномов Лежандра и Чебышева второго рода. На основании построенного обратного оператора к оператору какой-нибудь из этих систем она расщепляется и для каждого момента неизвестной векторной функции получается уравнение эллиптического типа высокого порядка (порядок системы зависит от порядка приближения), характеристические корни которого легко находятся. Используя метод Векуа, можно получить их аналитическое решение.
Для микрополярной теории призматических тонких тел с двумя малыми размерами, имеющих поперечное сечение в виде прямоугольника, получены расщепленные уравнения в моментах векторов перемещений и вращений относительно произвольной системы полиномов (Лежандра, Чебышева). Аналогичные уравнения получены и для редуцированной среды, содержащие уравнение классической среды.
Получены расщепленные системы уравнений восьмого приближения микрополярной теории многослойных призматических тел постоянной толщины в моментах векторов перемещений и вращений. Для этой системы, используя метод Векуа, можно выписать аналитическое решение. Аналитическое решение, конечно, можно выписать и для уравнений редуцированной среды.
Решены задачи различных приближений о тонком теле с двумя малыми размерами
и прямоугольной тонкой плоской области (полосы) с защемленными краями при различных нагрузках, а также о двуслойной двумерной области с защемленными краями.