Аннотация:
Обозначим через $G$ комплексную редуктивную группу Ли. Пусть $T$ — максимальный тор в $G$, $B$ — содержащая его борелевская подгруппа, $\Phi$ — система корней группы $G$ относительно тора $T$, а $W$ — её группа Вейля. Через $\mathcal{F} = G/B$ обозначим многоообразие флагов, а через $X_w \subseteq \mathcal{F}$ — подмногообразие Шуберта, соответствующее элементу $w \in W$. Пусть $C_w$ — касательный конус к $X_w$ в точке $p = eB$, рассматриваемый как подсхема в касательном пространстве $T_p X_w \subseteq T_p \mathcal{F}$. Нас будет интересовать вопрос, для каких элементов группы Вейля касательные конусы могут совпасть.
В 2011 г. Д. Ю. Елисеев и А. Н. Панов вычислили касательные конусы для $G = \mathrm{SL}_n (\mathbb{C}), n \le 5$. На основании этих вычислений А.Н. Панов выдвинул гипотезу, что если $w_1, w_2$ – разные инволюции в $W$, то $C_{w_1} \ne C_{w_2}$. Легко проверить, что достаточно доказать эту гипотезу для неприводимых систем корней. В 2013 г. Д. Ю. Елисеев и М. В. Игнатьев доказали её в случае, когда $\Phi$ имеет тип $\mathsf A_n$, $\mathsf F_4$ или $\mathsf G_2$, используя так называемые многочлены Костанта–Кумара. М. В. Игнатьев и я доказали эту гипотезу для $\mathsf B_n$ и $\mathsf C_n$. В докладе она будет доказана для так называемых базисных инволюций в $D_n$, а также будут обсуждаться случаи $\mathsf E_6$, $\mathsf E_7$, $\mathsf E_8$.
Кроме того, М. А. Бочкарёв, используя связь с коприсоединёнными орбитами группы $B$, ассоциированными с инволюциями, доказал в 2013 г., что для $\mathsf A_n$ и $\mathsf C_n$ касательные конусы различаются не только как подсхемы, но и как подмногообразия в $T_p \mathcal{F}$. Я расскажу, как, используя его методы, доказать аналогичные результаты для базисных инволюций в $D_n$.
Доклад основан на совместной работе с М. В. Игнатьевым.
|
