Аннотация:
Теорема Якоби-Шаля, гласит, что касательные прямые к геодезической
линии на квадрике в $n$-мерном пространстве, проведенные во всех точках
геодезической, касаются кроме этой квадрики еще $n-2$ конфокальных с
ней квадрик, одних и тех же для всех точек геодезической. Отсюда, в
частности, следует интегрируемость биллиарда в эллипсе и, более того,
интегрируемость биллиарда в любой области, граница которой состоит из
дуг софокусных квадрик. Такие области были классифицированы и для
каждой динамической системы была построена молекула Фоменко-Цишанга —
инвариант Лиувиллевой эквивалентности.
Оказалось, что некоторые биллиарды моделируют (а точнее Лиувиллево
эквивалентны) некоторым динамическим системам, описывающим движение
твёрдого тела (например, случаю Жуковского).
В докладе будет построен новый класс биллиардных систем —
обобщённые биллиарды, рассматриваемые в областях, образованных
накрытиями или склейками с изломами над классическими областями
(ограниченных эллипсами и гиперболами и вложимыми в плоскость). Для
каждой системы будет продемонстрирована топология слоения Лиувилля и
построен инвариант Фоменко-Цишанга Лиувиллевой эквивалентности.
|
