Функционал Эйлера и нормальные формы плоских кривых и классических узлов

Доклад состоит из двух частей. В первой части будет рассказано (и показано в виде мультфильмов) как минимизация функционала Эйлера (интеграла квадрата кривизны вдоль кривой) приводит плоские кривые градиентным спуском к их “нормальной форме”. Этот результат является решением проблемы, поставленной Эйлером в 1744 году и также дает очень наглядное доказательство теоремы Уитни-Грауйстейна о классификации регулярных кривых на плоскости с точностью до регулярной гомотопии.
Во второй части доклада будет определен некоторый функционал (являющийся суммой функционала Эйлера и очень простого функционала самоотталкивания) на пространстве полигональных узлов и будет продемонстрировано, как минимизация (алгоритм дискретизированного градиентного спуска) этого функционала приводит узлы к их “нормальной форме”. В этой части доклада не будет ни теорем, ни доказательств, будут показаны мультфильмы реализующие наш алгоритм, продемонстрированы физические эксперименты с проволочными узлами, приведены и проанализированы результаты масштабного компьютерного эксперимента с применением этого алгоритма в разным узлам.
Доклад основан на совместных работах с Сергеем Аввакумовым (НМУ) и Олегом Карпенковым (Ливерпуль).