Многомерная геометрия и функции очень многих переменных

Почти весь объем многомерного тела сосредоточен у его границы. Например, если с 1000-мерного арбуза радиуса 1 метр снять корку толщины 1см, то останется меньше тысячной доли всего арбуза. Это явление локализации или концентрации меры имеет многочисленные, порой неожиданные проявления. Например, любая более или менее регулярная функция на многомерной сфере почти постоянна в том смысле, что если взять случайно и независимо пару точек сферы и подсчитать значения функции в этих точках, то они с большой вероятностью окажутся почти совпадающими.
С точки зрения математика, привыкшего к функциям одного, двух и нескольких (не очень многих) переменных, это может показаться неправдоподобным. Но именно это обеспечивает стабильность основных параметров среды нашего обитания (температуры, давления,...), лежит в основе статистической физики, изучается в теории вероятностей под названием законов больших чисел и имеет много применений (например, при передаче информации по каналу связи при наличии помех).