История развития задачи нелинейной оптимизации с ограничениями в XVIII-XIX веке
Петрова А.В.
Аннотация:
Задачи оптимизации имеют применение в различных областях науки и представляют большой интерес для математиков и инженеров. Решать такие задачи аналитически стало возможным в XVIII в., когда были разработаны методы дифференциального и вариационного исчисления.
В докладе будут рассмотрены основные работы ученых XVIII–XIX века, оказавшие наибольшее влияние на развитие нелинейной оптимизации с ограничениями. Фундаментальные идеи о необходимых условиях оптимальности для данной задачи мы можем найти в работах Ж.Л. Лагранжа, Ж.Б. Фурье, А.О. Курно, а также К.Ф. Гаусса и М.В. Остроградского.
Задача нелинейной оптимизации, как и многие другие математические задачи, имеет механическое происхождение. Так, в своей работе «Аналитическая механика» Ж.Л. Лагранж сформулировал метод множителей для нахождения экстремума функции при ограничениях-неравенствах как инструмент для нахождения устойчивого состояния равновесия механической системы, а затем доказал справедливость метода алгебраически.
Случай ограничений-неравенств для данной задачи впервые изучил Ж.-Б. Фурье (1768–1830) и опубликовал в 1798 году в своей работе «Memoire sur la statique». Он рассматривал задачу минимизации потенциальной функции F(X) при ограничениях gi(x) ≥0.
Необходимое условие равновесия впервые сформулировал А. О. Курно в 1827 году в работе «Extension du principe des vitesses virtuelles au cas ou les conditions de liaison du systeme sont experimees par des inegalites», для специальных случаев и без доказательства.
В 1829 году К.Ф. Гаусс в работе «Об одном новом общем законе механики» сформулировал принцип наименьшего принуждения.
В 1834 году М.В. Остроградский сформулировал необходимое условие равновесия для общих случаев. В своей работе «Общие соображения относительно моментов сил» Остроградский дополнил решение некоторых вопросов, поставленных в первой части «Аналитической механики» Лагранжа. Случай, не рассмотренный Лагранжем, был впервые рассмотрен Гауссом и Остроградским независимо от Фурье и друг от друга.
