Аннотация:
Теорема Радона утверждает: {\it
любые $d+2$ точки в $\mathbb{R}^d$ можно разбить на два множества, выпуклые оболочки которых пересекаются.}
Ее обобщает теорема Тверберга: {\it
любые $(d+1)(r-1)+1$ точки в $\mathbb{R}^d$ можно разбить на $r$ множеств, выпуклые оболочки которых имеют общую точку.}
Топологическая гипотеза Тверберга.
{\it Для любых целых $r,d>0$ и непрерывного отображения $(d+1)(r-1)$-мерного симплекса в $\mathbb{R}^d$ существуют $r$ попарно непересекающиеся граней симплекса, образы которых имеют общую точку.}
Эта гипотеза доказана в случае, когда $r$ — степень простого.
В докладе будет рассказано о контрпримере для произвольного $r$, анонсированном в 2015 году.
Он основан на следующих результатах.
Отображение $f:K\to\mathbb{R}^m$ из комплекса $K$ называется $r$-почти вложением,
если $f$-образы любых $r$ попарно непересекающихся симплексов не имеют общей точки.
Отображение $f:K\to\mathbb{R}^{rk}$ комплекса $K$ размерности $(r-1)k$ называется {\it $r$-почти $\mathbb{Z}$-вложением},
если $f$-образы любых $r$ попарно непересекающихся симплексов пересекаются
в нулевом числе точек с учетом знака, для некоторых (или, эквивалентно, для любых) ориентаций на этих симплексах.
Теорема Озайдина.
{\it Пусть $r$ не степень простого. Тогда любой $(r-1)k$-мерный комплекс $r$-почти $\mathbb{Z}$-вложим в $\mathbb{R}^{rk}$.}
Теорема Мабийяра-Вагнера.
{\it Если $k\ge3$ и $(r-1)k$-мерный комплекс $r$-почти $\mathbb{Z}$-вложим в $\mathbb{R}^{rk}$, то он почти $\mathbb{Z}$-вложимым
в $\mathbb{R}^{rk}$.}
Доказательство теоремы Мабийяра-Вагнера основано на обобщении трюка Уитни для точек кратности $r$.
|
