Аннотация:
Теорема Радона утверждает:
любые $d+2$ точки в $\mathbb R^d$ можно разбить на два множества,
выпуклые оболочки которых пересекаются.
Её и теорему Борсука–Улама обобщает теорема Тверберга:
любые $(d+1)(r-1)+1$ точки в $\mathbb R^d$ можно разбить на $r$
множеств, выпуклые оболочки которых имеют общую точку.
Топологическая гипотеза Тверберга.
Для любых целых $r,d>0$ и непрерывного отображения
$(d+1)(r-1)$-мерного симплекса в $\mathbb R^d$ существуют $r$ попарно
непересекающиеся граней симплекса, образы которых имеют общую точку.
Эта гипотеза доказана в случае, когда $r$ — степень простого.
В докладе будет рассказано о контрпримерах для других $r$, полученных
в 2015 году
(работы Аввакумова, Вагнера, Мабийяра, Озайдына, Фрика и докладчика).
Они основаны на следующих результатах.
Отображение $f:K\to\mathbb R^m$ комплекса $K$ называется $r$-почти вложением,
если $f$-образы любых $r$ попарно непересекающихся симплексов не имеют
общей точки.
Отображение $f:K\to\mathbb R^{kr}$ комплекса $K$ размерности $k(r-1)$
называется $r$-почти $\mathbb Z$-вложением,
если $f$-образы любых $r$ попарно непересекающихся симплексов пересекаются
в нулевом числе точек с учётом знака (для некоторых ориентаций на
этих симплексах).
Теорема.
Пусть $r$ не степень простого. Тогда $k(r-1)$-мерный остов $(kr+1)(r-1)$-мерного симплекса
$r$-почти $\mathbb Z$-вложим в $\mathbb R^{kr}$. (Озайдын)
Теорема.
(a) Если $3(r-1)$-мерный комплекс $r$-почти $\mathbb Z$-вложим в $\mathbb R^{3r}$, то он $r$-почти вложим в $\mathbb R^{3r}$.
(Мабийяр–Вагнер, 2015)
(b) Если $r\ge3$ и $2(r-1)$-мерный комплекс $r$-почти $\mathbb Z$-вложим
в $\mathbb R^{2r}$, то он $r$-почти вложим в $\mathbb R^{2r}$.
(Аввакумов–Мабийяр–Вагнер–Скопенков, 2015)
Доказательство этих теорем основано на обобщении метода устранения
самопересечений (трюка Уитни)
для точек кратности $r$ и для коразмерности 2.
Будет рассказано также о приложении этого обобщения к классификации
орнаментов и каракулей
(работы Аввакумова, Вагнера, Мабийяра, Мелихова и докладчика).
|
