$n$-жесткие функции и функциональное уравнение Хирцебруха

В основе доклада лежит совместная работа с И. В. Нетаем.
Рассмотрим функцию $f(x)$ комплексного переменного $x$, регулярную в окрестности точки $x=0$, для которой $f(x)=x+O(x^2)$. Положим
\begin{equation} \label{def:F} F(x)=F(x;x_0,\ldots,x_n)=\prod_{i=0}^n \frac{1}{f(x-x_i)}. \end{equation}
Выберем окрестность $U$ точки $x=0$, чтобы функция $f(x)$ в этой окрестности не имела нулей, кроме $x=0$. Функция $f(x)$ называется $n$-жёсткой, если сумма вычетов функции $F(x)$ в $U$ не зависит от выбора набора не совпадающих точек $x_0,\ldots,x_n\in U$.
Ясно, что функция $f(x)$ является $n$-жёсткой тогда и только тогда, когда ряд $x+\sum\limits_{k\geqslant 1}f_kx^{k+1}$, задающий функцию $f(x)$ в окрестности $x=0$, удовлетворяет функциональному уравнению
\begin{equation} \label{main eq} \sum_{j=0}^n\prod_{i\neq j}^n \frac{1}{f(x_j-x_i)}=C=\operatorname{const}. \end{equation}

Уравнение \eqref{main eq} мы называем $n$-уравнением Хирцебруха, который нашёл фундаментальные приложения решениям этого уравнение в алгебраической топологии. Например, приложение двупараметрического рода Тодда опираются на то, что функция
\begin{equation} \label{def:Todd} f(x)=\frac{e^{ax}-e^{bx}}{ae^{bx}-be^{ax}} \end{equation}
является $n$-жёсткой для всех $n$ и всех значений параметров $a$ и $b$. Отметим, что, как было показано недавно, функция $f(x)$ является $n$-жёсткой для всех $n$ тогда и только тогда, когда она имеет вид \eqref{def:Todd}.
Используя классическую теорию эллиптических функций, нетрудно показать, что эллиптические функции уровня $d$ являются $n$-жёсткими, если $d$ делит $n+1$.
В недавней работе с Е. Ю. Буньковой классифицированы все $2$-жёсткие функции. В работе с И. В. Нетаем классифицированы все $3$-жёсткие функции. Доказательство этих результатов оказалось нетривиальным и существенно использует аппарат теории многочленов Шура.