Топологическая классификация интегрируемых гамильтоновых систем на поверхностях вращения в потенциальном поле

Рассмотрим натуральную механическую систему на кокасательном расслоении $T^*M$ к многообразию вращения $M\approx S^2$ со стандартной симплектической структурой $\omega = dp\wedge dq$ и функцией Гамильтона
$$H=\frac12 g^{ij}(q)p_i p_j+V(q),$$
где $q=(q^1,q^2)$ — локальные координаты на $M\approx S^2$, $p=(p_1,p_2)$ — соответствующие импульсы, т.е. координаты в $T^*_q M$, а $g^{ij}$ – матрица, обратная к матрице метрики $g$. Пусть метрика $g$ на многообразии вращения задается функцией $f(r)$. Пусть функция $f(r),\;r\in[0;L],$ задает гладкое многообразие вращения, а функция $V(r)$ (потенциал) — гладкая функция на отрезке $[0,L]$. Тогда будем говорить, что пара $(f(r),V(r)),\;r\in[0;L],$ задает натуральную механическую систему на римановом многообразии вращения $(M,g)$. Эта система является вполне интегрируемой в смысле Лиувилля.
В работе дается топологическая классификация с точностью до лиувиллевой эквивалентности описанного класса систем. Доказано, что ограничения таких систем на их трехмерные изоэнергетические поверхности моделируются геодезическими потоками поверхностей вращения без потенциала. Исследована реализуемость классов лиувиллевой эквивалентности систем на многообразиях вращения в классе систем на поверхностях вращения (т.е. на многообразиях, вложенных в $\mathbb{R}^3$).
Также в работе построены решетки переменных действия для систем на поверхностях вращения. С помощью этих решеток продемонстрирован альтернативный подход к вычислению инвариантов Фоменко–Цишанга и матриц монодромии изолированных особых точек систем на многообразиях вращения. Также при помощи решеток переменных действия вычислены инварианты Фоменко–Цишанга и матрицы монодромии для обобщенного случая Лагранжа.