Неравенства Харди–Реллиха в областях евклидова пространства

Для функций, финитных в произвольной области евклидова пространства, мы изучаем два неравенства типа Харди–Реллиха с весовыми функциями, являющимися степенями расстояния от точки до границы области. В выпуклых областях подобные неравенства ранее изучали P. L. Owen, M. G. Barbatis, A. Tertikas, W. D. Evans, R. T. Lewis и другие математики.
Для областей размерности два нами доказано, что положительная постоянная в каждом из этих неравенств существует тогда и только тогда, когда граница области является равномерно совершенным множеством, даны также явные оценки констант в зависимости от модулей области. Кроме того, нами получены точные значения констант для любой выпуклой области и для невыпуклой области произвольной размерности, если область удовлетворяет условию внешней сферы с вполне определенными ограничениями на радиус сферы.