Теория моделей: от экспоненциальной функции к теории Куммера

Теоретико-модельный анализ некоторых классических математических теорий, проведенный в работах Б. Зильбера, естественно приводит к гипотезам Шануэля, Морделла-Лэнга, теории Куммера, описанию образа действия Галуа на корнях из единицы и модулях Тэйта эллиптических кривых, а иногда и к обобщениям этих гипотез. Методы теории моделей показывают, как эти гипотезы возникают при попытке найти (и доказать!) «правильный», «простой», «геометрический» язык для этих теорий, в некотором формальном смысле, и при попытках доказать изоморфизм алгебраических структур, соответствующих этим языкам. В докладе я попытаюсь продемонстрировать главные идеи на простейшем примере, анализируя комплексную экспоненциальную функцию в простейшей ситуации. Я не буду использовать теоретико-модельную терминологию и потому не смогу почти ничего сказать о гипотезах Шануэля и Морделла-Лэнга.
Я начну с наблюдения, что, с точностью до автоморфизма поля комплексных чисел, существует лишь единственное расширение мультипликативной группы поля комплексных чисел, при помощи бесконечной циклической группы. Экспоненциальная функция доставляет такое расширение. С философской точки зрения (которую можно точно сформулировать в рамках теории моделей!) можно сказать, что это наблюдение объясняет, почему мы так часто думаем о комплексных числах как о поле, и об экспоненте как о гомоморфизме в группу поля. Часто об экспоненте думают как об универсальном накрывающем отображении: это позволяет её рассматривать в рамках другой естественной алгебраической структуры («функтор фундаментального группоида»). Я покажу, почему оба эти подхода эквивалентны, и как теория Куммера возникает в доказательстве наблюдения. Я закончу замечанием, что при замене экспоненциальной функции на эллиптическую функцию Вейерштрасса возникают (доказанные) гипотезы о действии группы Галуа на модулях Тэйта, а также что при замене поля комплексных чисел на поля больших мощностей возникают нетривиальные вопросы арифметического характера.