Аннотация:
Алгебра Ли ${\mathfrak{g}}$ определяется тензором структурных констант $c_{ij}^{k}$. Сам по себе тензор сложен в изучении, поэтому удобнее рассматривать другие структуры, с ним связанные. Рассмотрим пару форм $\mathcal{A}_x=\left ( \sum c_{ij}^{k}x_k\right)$ и $\mathcal{A}_a=\left ( \sum c_{ij}^{k}a_k\right)$ для $x,a \in \mathfrak{g}^*$. Пара таких форм может быть согласованно приведена к некоторому каноническому блочно–диагональному виду с помощью теоремы Жордана—Кронекера. Под инвариантами Жордана—Кронекера алгебры Ли мы подразумеваем вид получившихся блоков, их число и размеры. В работе А. В. Болсинова и P. Zhang "Jordan-Kronecker invariants of finite-dimensional Lie algebras" были приведены результаты многолетних исследований, показывающие связь инвариантов Жордана—Кронекера и свойств инвариантов коприсоединенного представления алгебр Ли. Закономерно возникает вопрос о характеризации алгебр Ли в рамках этой теории. Для некоторых типов алгебр Ли (например, для полупростых и алгебр малой размерности) инварианты были получены, но в общем случае вопрос пока остается открыт.
В данной работе рассмотрены полупрямые суммы специальных ортогональных алгебр Ли $so(n)$ и нескольких экземпляров евклидова пространства ${\mathbb R}^n$. Найден метод вычисления инвариантов Жордана-Кронекера таких алгебр, и на основе этого метода получены инварианты Жордана-Кронекера для всех таких алгебр.
|
