Анализ на треугольнике Серпинского и подобных фракталах

Мы начнем с определения лапласиана на треугольнике Серпинского с помощью теории форм Дирихле. Спектр такого лапласиана полностью описывается в терминах комплексной динамики определенного квадратичного полинома. Для многих других подобных фракталов такое же описание может быть дано в терминах комплексной динамики соответсвующих рациональных функций. Затем мы обсудим спектральную дзета-функцию, которая разлагается в произведение геометрической дзета-функции (ряда Дирихле) и некоторой новой дзета-функции, связанной с упомянутым выше квадратичным полиномом. Подобное мультипликативное представление спектральной дзета-функции было получено М. Лапидусом в случае «фрактальных струн». Также будет обсуждаться полнота локализованых собственных функций на бесконечном треугольнике Серпинского и существование непрерывного сингулярного спектра на некоторых одномерных фракталах. В оставшееся время будут определены гармонические координаты на треугольнике Серпинского, некоторые производные первого порядка и векторные поля.