Неархимедова геометрия спектральной статистики разреженных матриц и случайных операторов шредингеровского типа

Рассмотрим ансамбль случайных симметричных матриц размера $N\times N$ ($N\gg1$), элементы которых могут принимать значения $1$ с вероятностью $q$ и $0$ с вероятностью $1-q$. Наc интересует спектральная статистика такого ансамбля в точке перколяции, $q=1/N$. Можно показать, что в этой точке примерно 95% всех возможных подграфов — линейные цепочки с экспоненциальным распределением по длинам, т.е. операторов, задаваемых двухдиагональными матрицами. Распределение плотности собственных значений таких операторов имеет простую теоретико-числовую неархимедову структуру. Анализ хвостов спектральной плотности позволяет высказать гипотезу о том, что в определенном пределе спектральная плотность может быть выражена в терминах модулярных функций (а именно, эта-функции Дедекинда). Предполагается также обсудить связь данной задачи с рядом физических проблем: филлотаксисом, определением оптимальной формой листов растений.