Аннотация:
Каждому симплициальному комплексу можно сопоставить его $f$-вектор,
то есть набор чисел $(f_0,f_1,f_2,\ldots)$, где $f_j$ — число $j$-мерных
симплексов комплекса. Возникает естественная комбинаторная задача:
описать все возможные $f$-векторы триангуляций заданного многообразия,
или хотя бы описать некоторые их свойства. Вместо $f$-вектора удобнее
использовать $h$-вектор, несущий ту же информацию о комбинаторике
триангуляции. В 70-х годах возникла теория алгебр Стенли–Райснера,
позволившая перевести исходную комбинаторно-топологическую задачу
на алгебраический язык.
Наиболее впечатляющие результаты эта теория дала для триангулированных
сфер: с ее помощью сразу удалось доказать гипотезу о неотрицательности
$h$-чисел сфер и гипотезу о верхней границе. Алгебраическая теория для
триангуляций произвольных многообразий оказалась более сложной
и обрела относительно завершенный вид в работах Новик и Шварца
2009-го года. Они построили фактор-алгебру алгебры Стенли–Райснера
триангулированного многообразия, являющуюся алгеброй с двойственностью
Пуанкаре, и выразили размерности ее градуированных компонент через
h-вектор и числа Бетти многообразия.
В докладе будут рассказаны необходимые подробности и, насколько
позволит время, описаны алгебры Новик–Шварца в терминах
дифференциальных операторов и многочленов объема мультивееров.
|
