Аннотация:
Гиперболической решёткой $L$ ранга $n+1$ называется свободная абелева группа, снабжённая скалярным умножением сигнатуры $(n, 1)$. Тогда $V = L \otimes R = E^{n,1}$ есть пространство Минковского. В качестве $n$-мерного пространства Лобачевского $L^n$ будем рассматривать одну из связных компонент гиперболоида, заданного уравнением $(x,x) = -1$. В этом случае группой движений пространства Лобачевского является подгруппа $\mathrm O'(V)$ индекса 2 в псевдоортогональной группе $\mathrm O(V)$, состоящая из преобразований, переводящих каждую из связных компонент гиперболоида в себя. Плоскостями в векторной модели пространства $L^n$ являются непустые пересечения гиперболоида с подпространствами пространства $V$.
Примитивный вектор $e$ квадратичной решётки $L$ называется $k$-корнем, если $(e,e) = k$ и $2(e,x) \in k \mathbb Z$ для всех $x \in L$. Всякий $k$-корень $e$ определяет ортогональное $k$-отражение в пространстве Минковского: $R_e \colon x \mapsto x - 2(e,x) e/k$. Оно сохраняет решётку $L$ и является отражением относительно гиперплоскости $H_e = \{x \in L^n : (x,e) = 0\}$ пространства $L^n$.
Известно, что группа $\mathrm O'(L) = \mathrm O(L) \cap \mathrm O'(V)$ дискретно действует на пространстве $L^n$ и её фундаментальный многогранник имеет конечный объём. Решётка $L$ называется рефлективной (или 1.2-рефлективной), если подгруппа $\mathrm O_r (L)$, порождённая всеми отражениями, содержащимися в группе $\mathrm O'(L)$ (или подгруппа $\mathrm O^{1,2}_r (L)$, порождённая всеми 1- и 2-отражениями) имеет конечный индекс в $\mathrm O(L)$. Решётка $L$ рефлективна (или 1.2-рефлективна), если фундаментальный многогранник группы $\mathrm O_r (L)$ (или $\mathrm O^{1,2}_r (L)$) имеет конечный объём.
Ненулевой вектор $x \in L$ называется изотропным, если $(x, x) = 0$. Гиперболическая решётка $L$ называется изотропной, если она содержит хотя бы один изотропный вектор $x$, в противном случае она называется анизотропной. В настоящем докладе будет сформулирован основной результат работы докладчика, в которой найдены все максимальные анизотропные 1.2-рефлективные гиперболические решётки ранга 4, а также будет рассказано о некоторых методах поиска таких решёток.
|
