Проблема четырёх красок, фуллерены и топология шестимерных многообразий

Выпуклый трёхмерный многогранник называется простым, если, в каждой его вершине сходится в точности 3 ребра. В торической топологии [Bu-Pa15]каждому простому многограннику $P$ с $m$ двумерными гранями сопоставляется гладкое $(m+3)$-мерное момент угол многообразие $\mathcal{Z}_P$ с действием компактного тора $T^m$. Решение проблемы четырёх красок обеспечивает существование целочисленной $((m-3)\times m)$-матрицы $\Lambda$, задающей $(m-3)$-мерную подгруппу в $T^m$ свободно действующую на $\mathcal{Z}_P$. Пространство орбит этого действия называется квазиторическим многообразием $M^6(P,\Lambda)$. Мы имеем $\mathcal{Z}_P/T^m=M^6/T^3=P$.
Математический фуллерен представляет собой простой трёхмерный многогранник все двумерные грани которого пятиугольники или шестиугольники.
Доклад посвящен следующим результатам.
Два фуллерена $P$ и $Q$ комбинаторно эквивалентны тогда и только тогда, когда существует градуированный изоморфизм колец когомологий $H^*(\mathcal{Z}_P,\mathbb Z)\simeq H^*(\mathcal{Z}_Q,\mathbb Z)$ (см. [BE15b] и [FMW15]). Градуированный изоморфизм $H^*(M^6(P,\Lambda_P),\mathbb Z)\simeq H^*(M^6(Q,\Lambda_Q),\mathbb Z)$ даёт градуированный изоморфизм $H^*(\mathcal{Z}_P,\mathbb Z)\simeq H^*(\mathcal{Z}_Q,\mathbb Z)$ (см. [BEMPP-16]). Используя известные теоремы о классификации гладких шестимерных односвязных многообразий мы получаем: многообразия $(M^6(P,\Lambda_P)$ и $(M^6(Q,\Lambda_Q),\mathbb Z)$ диффеоморфны тогда и только тогда, когда существует градуированный изоморфизм $H^*(M^6(P,\Lambda_P),\mathbb Z)\simeq H^*(M^6(Q,\Lambda_Q),\mathbb Z)$ (см. [BEMPP-16]).
[Bu-Pa15] V.M. Buchstaber, T.E. Panov, “Toric Topology,” AMS Math. Surveys and monogrpaphs. vol. 204, 2015. 518 pp.
[BE15b] V.M. Buchstaber, N.Yu. Erokhovets, “Construction of fullerenes”, arXiv 1510.02948v1, 2015.
[FMW15] F. Fan, J. Ma, X. Wang, "$B$-Rigidity of flag 2-spheres without 4-belt", arXiv:1511.03624.
[BEMPP-16] V.M. Buchstaber, N.Yu.Erokhovets, M.Masuda, T.E.Panov, S.Park, "Cohomological rigidity of -dimensional toric manifolds and simple -polytopes", in preparation.