Положительность для квантовых кластерных алгебр и исчезающие циклы

Кластерные алгебры были введены Фоминым и Зелевинским в 2001 году. Интуитивно про них можно думать как о многообразиях с бесконечным числом аффинных карт, каждая из которых является аффинным пространством, и функции перехода являются многочленами Лорана с целыми коэффициентами (так называемый феномен Лорана). Один из основных вопросов этой теории — гипотеза о положительности коэффициентов этих многочленов. Эта гипотеза была доказана Ли и Шиффлером в 2014 году для так называемых кососимметрических кластерных алгебр.
В докладе пойдет речь о квантовых кластерных алгебрах, введенным Беренштейном и Зелевинским в 2004 году. Я расскажу о категорном подходе к феномену Лорана и гипотезе положительности (в кососимметрическом случае). Он основывается на теории категорных инвариантов Дональдсона–Томаса, развитой в работах Концевича и Сойбельмана. Будет объяснено (без технических деталей), как целочисленные коэффициенты соответствующих (квантовых) многочленов Лорана можно выразить через (монодромные) смешанные структуры Ходжа на исчезающих когомологиях некоторых гладких алгебраических многообразий с регулярной функцией. Эти многообразия — пространства модулей стабильных представлений колчанов, а функция — след линейной комбинации циклических путей. Гипотеза положительности сводится к утверждению о чистоте этих смешанных структур Ходжа.
Гипотеза о чистоте была сформулирована докладчиком в 2011 году (она возникла в результате обсуждений с Концевичем). В январе 2016 Б.Дэвисон опубликовал препринт с доказательством этой гипотезы, тем самым доказав положительность для квантового случая.