Приближение алгебраических функций рациональными, функциональные аналоги диофантовых приближений

Пусть f – росток (степенное разложение) алгебраической функции в бесконечности. Мы обсудим предельные свойства функциональных дробей с полиномиальными коэффициентами для f (другие названия – диагональные аппроксимации Паде или наилучшие локальные рациональные аппроксимации). Если сравнивать такие функциональные непрерывные дроби для f с обычными непрерывными дробями (с целыми коэффициентами) для действительных чисел, то степень многочлена, коэффициента функциональной дроби, будет аналогична величине целого коэффициента числовой непрерывной дроби. В нашей работе с М. Ятцелевым [1], получена сильная (или типа Бернштейна-Сегё) асимптотика знаменателей подходящих функциональной непрерывной дроби для аналитической функции с конечным числом точек ветвления (находящихся в общем положении в комплексной плоскости). Одно из приложений, вытекающее из этого результата, доказательство справедливости гипотезы Гончара–Чудновских– Шталя об ограниченности размеров (с эффективной точной оценкой) у блоков диагональных рациональных аппроксимаций Паде алгебраических функций. Эту гипотезу также называют сильным функциональным аналогом теоремы Туэ-Зигеля-Рота о скорости приближения алгебраических чисел рациональными. Из справедливости этой гипотезы также следует ограниченность неполных частных (т.е. ограниченность степени коэффициентов) функциональных непрерывных дробей алгебраических функций.

Список литературы

1. A. I. Aptekarev, M. L. Yattselev, “Pade approximants for functions with branch points – strong asymptotics of Nuttall-Stahl polynomials”, Acta Math., 215:2 (2015), 217–280, arXiv: 1109.0332v2