Аннотация:
Фазовое пространство $d$-мерной теории гладких замкнутых струн можно
отождествить с пространством гладких петель со значениями в $d$-мерном
пространстве Минковского $R_d$. Однако, симплектическая форма этой
теории допускает продолжение на соболевское пространство
$V_d=H_0^{1/2}(S^1,R_d)$ полудифференцируемых петель в $R_d$. Группа
$\text{QS}(S^1)$ репараметризаций таких петель состоит из
квазисимметичных гомеоморфизмов окружности, причем ее действие на
соболевском пространстве $V_d$ сохраняет указанную симплектическую
форму. С учетом этих фактов мы можем выбрать в качестве фазового
пространства теории негладких струн соболевское пространство $V_d$,
наделенное действием группы $\text{QS}(S^1)$.
Если бы это действие было гладким, в качестве классической системы,
ассоциированной с фазовым пространством $V_d$, нужно было бы взять пару,
состоящую из $V_d$ и алгебры Ли группы $\text{QS}(S^1)$. Однако
указанное действием гладким не является и группе $\text{QS}(S^1)$ нельзя
сопоставить никакой классической алгебры Ли. Тем не менее, удается
построить напрямую квантовую алгебру Ли, ассоциированную с соболевским
пространством $V_d$. Для этого используются методы, заимствованные из
некоммутативной геометрии.
|
