|
СЕМИНАРЫ |
Семинар «Глобус» (записи с 2011 года)
|
|||
|
От бильярдов в многоугольниках к динамике на пространстве модулей А. В. Зорич Université Paris VIII |
|||
Аннотация: Я постараюсь в трёх лекциях дать первое представление о динамике на пространстве модулей римановых поверхностей и о том, зачем она нужна. В качестве модельной задачи мы рассмотрим бильярд на плоскости с периодическими прямоугольными препятствиями (модель П. и Т. Эренфест). Несколько лет назад Делекруа, Лельевр, и Убер доказали, что диаметр типичной траектории такого бильярда растет как длина траектории в степени 2/3 (а вовсе не в степени 1/2 как диаметр траектории случайного блуждания или траектории бильярда Синая). Число 2/3 в этой истории - это показатель Ляпунова расслоения Ходжа над пространством модулей, которое скрыто за бильярдом, а сама теорема - одно из первых практических приложений в этой бурно развивающейся области. Цель лекций - дать представление о каждом из этих терминов, о связи между ними, о недавних фундаментальных результатах Концевича, Мирзахани, Мохамади, Эскина, Филипа, и рассказать о том, над какими задачами ломают головы ведущие специалисты в этой области в данный момент. На первой лекции, начав с бильярдов в многоугольниках, мы перейдем к слоениям на плоских поверхностях, а от них - к семействам плоских поверхностей. Мы обсудим исключительно богатую геометрию таких семейств, в частности, действие группы Во второй лекции мы обсудим автоморфизмы поверхностей, в частности, аносовские автоморфизмы. После этого я постараюсь проиллюстрировать идею ренормализации в динамике на частном случае, пришедшем с задачи о периодическом бильярде. Чтобы формализовать идею ренормализации мы на пальцах определим расслоение Ходжа, связность Гаусса-Манина, и доберемся до формулировки мультипликативной эргодической теоремы в применении к плоским связностям. В третьей лекции я хочу попробовать рассказать о недавних революционных теоремах жесткости Мирзахани-Мохаммади-Эскина и Филипа и дойти до переднего края науки. Я постараюсь закончить сводкой последних событий на фронте программы классификации GL(2,R)-инвариантных подмногообразий в пространстве модулей римановых поверхностей. |