О каноническом разбиении Наттолла на листы для некоторого класса четырехлистных римановых поверхностей

Пусть $\varphi(z)=z+\sqrt{z^2-1}$, $z\in\overline{\mathbb C}\setminus\Delta$, – функция, обратная функции Жуковского; здесь и в дальнейшем предполагается, что $\sqrt{z^2-1}/z\to1$, $z\to\infty$. Положим
\begin{equation} f(z):=\prod_{j=1}^m\left(A_j-\frac1{\varphi(z)}\right)^{\alpha_j}, \label{1} \end{equation}
где $m\geq2$, все $A_j\in{\mathbb C}$ попарно различны, $|A_j|>1$, $\alpha_j\in{\mathbb C}\setminus{\mathbb Z}$, $\sum_{j=1}^m\alpha_j=0$. Класс функций вида \eqref{1} будем обозначать через ${\mathscr Z}(\Delta)$.
В докладе будет рассмотрена задача о существовании для произвольной функции $f\in{\mathscr Z}(\Delta)$ ассоциированной с ней канонической в смысле Наттолла четырехлистной римановой поверхности. Решение этой задачи позволяет дать ответ на вопрос о предельном распределении нулей полиномов Эрмита–Паде 1-го рода $Q_{n,j}\not\equiv0$, $\operatorname{deg}{Q_{n,j}}\leq{n}$, $j=0,1,2,3$, для набора четырех функций $[1,f,f^2,f^3]$, $f\in{\mathscr Z}(\Delta)$, т.е. полиномов, определяемых соотношением
\begin{equation} (Q_{n,0}+Q_{n,1}f+Q_{n,2}f^2+Q_{n,3}f^3)(z) =O\left(\frac1{z^{3n+3}}\right),\quad z\to\infty. \label{2} \end{equation}