Аннотация:
Задача поиска “суперинтегрируемых” систем (т.е. систем с замкнутыми
траекториями в некоторой области) в классе натуральных механических
систем, инвариантных относительно вращений, восходит к работам Бертрана
и Дарбу. Системы “типа Бертрана” при разных ограничениях были описаны
Бертраном (1873), Дарбу (1877), Перликом (1992), Бессе (1978), авторами
и Загрядским (2011), авторами (2015). Однако в полной общности вопрос
оставался открытым из-за так называемой “проблемы экваторов”. В
оставшемся трудном случае с экваторами мы описываем все натуральные
механические системы Бертрана, а также решаем вопрос о связи между
разными классами систем “типа Бертрана” (самый широкий класс “локально
бертрановых” систем, класс систем Бертрана, узкий класс “сильно
бертрановых” систем и т.п.), которые совпадают в изученном ранее случае
конфигурационных многообразий без экваторов. В частности, мы показываем,
что “сильно бертрановы” системы образуют тощее подмножество в множестве
систем Бертрана, а системы Бертрана - тощее подмножество в множестве
“локально бертрановых” систем.
Ключевые слова: суперинтегрируемые системы Бертрана, конфигурационное
многообразие вращения, экватор, поверхность Таннери, принцип Мопертюи.
|
