Алгебро-геометрический подход к теории чисел

Стандартный подход к теоретико-числовой задаче состоит из следующих этапов:
(1) формулировка аналогичной геометрической задачи над полем комплексных чисел или над конечным полем;
(2) решение геометрической задачи;
(3) использование геометрического опыта для решения теоретико-числовой задачи.
Этап (1) часто проходит весьма успешно (формулировки многих результатов и гипотез тождественны), алгебро-геометрический этап (2) с точки зрения теории чисел считается простой частью задачи (хотя реально он может быть и простым и сколь угодно сложным); этап (3) представляет наибольшие (часто выглядящие непреодолимыми) трудности. Чтобы увидеть все это, достаточно попробовать перенести в числовую ситуацию доказательство Маттука–Тэйта гипотезы Римана для кривых над конечным полем.
Будет рассказано об успехах (скромных) и проблемах программы, цель которой — найти систематический подход к преодолению третьего этапа.