Аннотация:
Редуктивную алгебру Ли $\mathfrak g$ можно рассматривать как бипуассоново многообразие со скобками $\{f,g\}_x = (x, [df,dg])$ и $\{f,g\}_a = (a, [df,dg])$, где $(\,\,,\,)$ — инвариантное скалярное произведение на $\mathfrak g$, $x$ — переменная, а элемент $a$ фиксирован. Зададимся вопросом о поиске полной системы функций в биинволюции относительно обеих скобок. Если элемент $a$ регулярен, то ответ даёт метод сдвига аргумента Мищенко–Фоменко. Оказывается, этот метод можно рассматривать как частный случай более общего подхода.
Скобки Пуассона $\{\,\,,\,\}_x, \{\,\,,\,\}_a$ можно рассматривать как кососимметрические билинейные формы $f_x$ и $f_a$ в пространстве дифференциальных $1$-форм на $\mathfrak g$ с рациональными коэффициентами. Чтобы найти полную систему функций в биинволюции, достаточно найти базис подпространства, билагранжева относительно форм $f_x$ и $f_a$, и проинтегрировать его по переменной $x$. Для нахождения базиса билагранжева подпространства используется метод Кронекера.
Доклад посвящён описанию полной системы функций в биинволюции на $\mathfrak{gl}_n(\mathbb С)$ относительно скобок $\{\,\,,\,\}_x$ и $\{\,\,,\,\}_a$, где элемент $a$ сингулярный.
|
