О некоторых результатах, связанных с гипотезой Римана

Хорошо известная гипотеза Римана утверждает, что все нетривиальные нули дзета-функции Римана лежат на критической прямой $Re$ $s = 1/2$. В 1989 г. Атле Сельберг определил класс рядов Дирихле, для которых также предполагается справедливость аналога гипотезы Римана. Следующие утверждения доказаны для некоторых функций из класса Сельберга:

положительная доля нетривиальных нулей $L$-функции лежит на критической прямой;

почти все нетривиальные нули $L$-функции лежат в окрестности критической прямой;

значения логарифма $L$-функции на критической прямой асимптотически нормально распределены.

Оказывается, что эти результаты очень тесно взаимосвязаны.

По определению любая функция из класса Сельберга удовлетворяет функциональному уравнению Риманова типа и соответствующий ей ряд Дирихле разлагается в виде Эйлерова произведения. Однако, если мы рассмотрим нетривиальную линейную комбинацию (с вещественными коэффициентами) функций из класса Сельберга, удовлетворяющих одному и тому же функциональному уравнению, то полученная функция также будет обладать функциональным уравнением, но уже не будет иметь разложения в виде Эйлерова произведения. Оказывается, что такая функция имеет много нетривиальных нулей вне критической прямой, то есть она не удовлетворяет аналогу гипотезы Римана. Все же и для такой функции существует предположение, что почти все ее нетривиальные нули лежат на критической прямой. Безуслов- но для линейных комбинаций (с некоторыми естественными предположениями) $L$-функций из класса Сельберга можно доказать, что если каждая из $L$-функций, входящих в линейную комбинацию, имеет положительную долю нетривиальных нулей на критической прямой, то и сама линейная комбинация также имеет положительную долю нетривиальных нулей на критической прямой. То есть именно наличие Эйлерова произведения у $L$-функции вероятно обеспечивает справедливость гипотезы Римана.