Микроформальная геометрия и гомотопические алгебры

Под "микроформальной геометрией" мы понимаем расширение категории гладких (супер)многообразий, при котором обычные гладкие отображения заменяются на "микроформальные морфизмы" (или "толстые морфизмы"). Микроформальные морфизмы (супер)многообразий были обнаружены в связи с гомотопическими пуассоновыми структурами (именно, для решения задачи о сравнении высших скобок Козюля на дифференциальных формах с канонической скобкой Схоутена). Микроформальный или толстый морфизм есть формальное каноническое отношение между кокасательными расслоениями. Он кодируется производящей функцией — формальным степенным рядом по импульсным переменным на целевом многообразии. Случай линейной функции отвечает обычному гладкому отображению. Имеют смысл композиция толстых морфизмов и обратный образ гладкой функции относительно толстого морфизма, которые определяются итерационной процедурой. Основное отличие от обычной ситуации — что обратный образ гладких функций есть нелинейное отображение. Это формальный нелинейный дифференциальный оператор, который с алгебраической точки зрения может быть описан как "нелинейный гомоморфизм" алгебр. Композиция толстых морфизмов задает формальную категорию (понятие, аналогичное формальной группе).
Микроформальные морфизмы имеют приложение к гомотопическим скобкам Пуассона, алгеброидам Ли и векторным расслоениям. Имеется также квантовый аналог, в котором роль "квантовых толстых морфизмов" играют интегральные операторы Фурье специального вида. (Подобные операторы рассматривались в квантовой механике Фоком в 1959 г. и в теории уравнений с частными производными Вишиком, Эскиным, Егоровым и Федорюком в 1960-х гг.) Они имеют приложение к "квантовым" гомотопическим алгебрам (алгебрам Баталина–Вилковысского). При этом возникает любопытная аналогия с теоремой Егорова. Также, совсем недавно обнаружено, что толстые морфизмы поднимаются на касательные расслоения. Это дает нелинейный обратный образ на дифференциальных формах и гипотетически на когомологиях.
Ссылки: J. Geom. Phys. 111, 94–110, 2017 (arXiv:1409.6475v3 [math.DG] ); arXiv:1411.6720v4 [math.DG].