Множества Делоне с транзитивной группой симметрий

Множество $X\subset R^d$ называется множеством Делоне, если для некоторых положительных $r$ и $R$ выполняются два условия: шар $B_y(r)$ радиуса $r$ с центром в любой точке $y\in R^d$ содержит не больше одной точки $x\in X$; шар $B_y(R)$ радиуса $R$ с центром в $y\in R^d$ содержит хотя бы одну точку $x\in X$.
Множества Делоне являются моделью атомной структуры произвольного твердого тела, в том числе и аморфного. Высоко организованные структуры (кристаллы) описываются множествами Делоне с транзитивной группой симметрий, т.е. с группой, в которой для любых точек $x, x' \in X$ существует такая симметрия $g$ множества $X$, что $g(x)=x'$. Множество Делоне с транзитивной группой называется правильной системой.
Правильная система $X$ для любого $\rho>0$ устроена в $\rho$-окрестности каждой точки из $X$ одинаково: кластеры радиуса $\rho$ во всех точках конгруэнтны. Существует ли такое положительное $\hat{\rho}$, что идентичность во множестве $X$ всех $\hat{\rho}$-кластеров влечет правильность множества $X$?
Этот вопрос непосредственно связан с проблемой кристаллизации: почему при фазовом переходе вещества из жидкого состояния в твердое атомная структура вещества из аморфной трансформируется либо в правильную систему, либо в объединение нескольких правильных систем. Физики объясняют это тем, что при низкой температуре энергия взаимодействия между атомами/молекулами, соответствующая тому или иному потенциалу, достигает минимума на определенной геометрической конфигурации, окружающей данный атом. По мнению физиков, конгруэнтность конфигураций вокруг атомов данного вида, минимизирующих энергию, является причиной правильности структуры в целом.
Первые результаты в этом направлении были получены в рамках локальной теории правильных систем. В локальной теории доказывается существование такого положительного значения $\hat{\rho}$, что конгруэнтность $\hat{\rho}$-кластеров для множества Делоне $X$ гарантирует, что $X$ – правильная система. Отметим, что локальная теория распространяется на все множества Делоне, а не только на минимизаторы полной энергии. Основной вопрос теории – определить значение радиуса $\hat{\rho}$.
Предполагается обсудить ряд основных результатов локальной теории правильных систем.