Аннотация:
Для произвольной вещественной функции $f$, гармонической в жордановой области $D\subset {\mathbb R}^2$ (коротко: $f \in H(D)$) и непрерывной в ее замыкании $\overline{D}$, пусть $R(f)$ – решение задачи Дирихле в области $\Omega = {\mathbb R}^2 \setminus \overline{D}$ с граничной функцией $f|_{\partial\Omega}$, где $\partial D = \partial\Omega$ – граница областей $D$ и $\Omega$. Функцию $R(f)$ (на $\overline\Omega$) назовем гармоническим отражением функции $f$ относительно границы $\partial D$ области $D$, а оператор $R=R_D\colon f \to R(f)$ – оператором гармонического отражения.
Планируется обсудить следующую задачу. Для заданных $m$ и $m'\leq m$ из $(0,1]$ найти наиболее точные достаточные условия на область $D$, при которых оператор $R_D$ является непрерывным из $\mathrm{Lip}^m(\overline{D})\cap H(D)$ в $\mathrm{Lip}^{m'}(\overline\Omega)\cap H(\Omega)$.
|
