Аннотация:
Пусть множество $E$ состоит из конечного числа (может быть, одного) дизъюнктных отрезков вещественной оси.
Предполагаем, что $E$ не пересекается со своими образами при сдвигах на целое кратное $2\pi$.
В качестве примера $E$ можно рассматривать промежуток длины, меньшей $2\pi$.
Для пространств Гёльдера, заданных на $E$, и подобных им пространств
будет получено конструктивное описание этих пространств в терминах
скорости приближения функций тригонометрическими полиномами.
Если в качестве примера рассмотреть упомянутый выше отрезок $[0,a]$
с пространством Гёльдера $H^\alpha$ порядка $\alpha<1$, заданным на нем,
то описание будет следующим:
пусть $E_n$ –эллипс с фокусами в точках $a$ и $0$, проходящий через точку $-1/n^2$,
$d_n(x)$ – расстояние от точки $x\in[0,a]$ до $E_n$. Тогда $f\in H^\alpha$ если
и только если для любого $n$ найдется тригонометрический полином $T_n(x)$ порядка $\leq n$
такой, что $|f(x)-T_n(x)| \leq C_f (d_n(x))^\alpha$, $x\in[0,a]$.
Доказательство использует аппроксимацию в комплексной области.
|
