Тропический подход к выпуклым областям

С каждой компактной выпуклой плоской областью связана тропическая кривая, инварианты которой являются $SL(2,\mathbb Z)$-инвариантами области. Вершины тропической кривой параметризуются неким моноидом, и это позволяет писать формулы типа
$$\sum f(a,b,c,d)^2 = 2-\pi/2,$$

$$\sum f(a,b,c,d) = 2,$$
где
$$f(a,b,c,d)=\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}-\sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2}$$
и суммирование выполняется по всем четвёркам $a,b,c,d\in\mathbb Z_{\geqslant0}$ таким, что $ad-bc=1$.
Я расскажу о других таких формулах и стоящей за этим геометрии.