Критерий цикличности обобщенного $4$-графа с крестовой структурой в терминах минимальных миноров

Хорошо известна теорема Буше, утверждающая, что простой граф нецикличен, т.е. не реализуется как граф пересечений хордовой диаграммы, если и только если существует локально эквивалентный ему граф, т.е. граф, получающийся конечной последовательностью локальных дополнений в вершинах, который содержит в качестве индуцированного подграфа один из трех графов Буше.
Хордовые диаграммы и локальные дополнения возникают при исследовании 4-валентных графов с крестовой структурой (последние объекты появляются в теории виртуальных узлов). А именно, рассматривая сначала все поворачивающие обходы на связном 4-валентном графе с крестовой структурой, а затем их графы пересечений, мы получим, что 4-валентный граф с крестовой структурой можно рассматривать как класс эквивалентности циклических оснащенных простых графов (вершины снабжены оснащением, 0 или 1) по преобразованиям, отвечающим смене обхода. Данные преобразования представляют собой либо локальное дополнение в вершине с оснащением 1, либо шарнирное преобразование (композиция трех локальных дополнений) в двух смежных вершинах с оснащением 0.
Используя такой подход, мы можем ввести понятия обобщенного 4-валентного графа с крестовой структурой: класс эквивалентности оснащенных простых графов по описанным выше преобразованиям. Возникает вопрос, найти аналог теоремы Буше для цикличности обобщенного 4-валентного графа с крестовой структурой. В докладе будет дано решение данного вопроса.