Аннотация:
Пусть $G$ — вещественная полупростая группа Ли, $\mathfrak g$ — её
алгебра Ли; фиксируем разложение Картана $\mathfrak g=\mathfrak k\oplus
\mathfrak p$. Полной симметрической системой Тоды на $G$ называют
гамильтонову систему на пространстве $\mathfrak p$, строящуюся по
корневой системе этого разложения и обобщающую обычную
("трехдиагональную") систему Тоды. Эта система (прежде всего, на группе
$SL_n$) довольно подробно изучалась на протяжении последних 40 лет; было
установлено, что у нее имеется достаточное количество первых интегралов
в инволюции, описана структура симплектических листов и т.п. Я расскажу
о еще одной довольно неожиданной стороне этой теории: оказывается,
система Тоды на $\mathfrak p$ тесно связана с некоторой градиентной
системой на максимальной компактной подгруппой в $G$. Я расскажу о том,
какие свойства градиентных систем на $K$ соответствуют разным
утверждениям про гамильтонову систему, какие инвариантные кривые и
поверхности можно найти на компактной подгруппе, какие векторные поля на
$K$ соответствуют некоторым первым интегралам системы Тоды, и как это
все связано со структурой вещественных клеток Брюа.
|
