Метод ортогональных полиномов в механике микрополярных и классических упругих тонких тел (по материалам докторской диссертации)

Предложены различные параметризации для областей тонких тел. Создан новый тензорный аппарат для этих параметризаций. Сформулированы фундаментальные теоремы для областей тонких тел.
Получены дополнительные рекуррентные соотношения для полиномов Лежандра и Чебышева. Построена теория моментов относительно систем полиномов Лежандра и Чебышева. Выведены системы уравнений движения и притока тепла и определяющие соотношения, а также граничные и начальные условия в моментах для теории тонких тел.
На основании развитого метода ортогональных полиномов построены новые варианты теорий тонких тел (однослойных и многослойных).
Выведены вариационные принципы Лагранжа и Кастильяно, а также обобщенные вариационные принципы типа Рейсснера для теории тонких тел в моментах относительно систем полиномов Лежандра и Чебышева. Дана постановка связанной, а также несвязанной динамической задачи в моментах для тонких тел.
Из трехмерных уравнений микрополярной теории получены уравнения микрополярных и расширенных микрополярных теорий оболочек, оболочек класса TS и призматических оболочек в контравариантных компонентах тензоров напряжений и моментных напряжений. Выведены граничные условия. Даны сравнения уравнений некоторых теорий. Сформулированы кинематические гипотезы для теории тонких тел.
Построен обратный матричный дифференциальный тензор-оператор к матричному дифференциальному тензору-оператору уравнений движения микрополярной теории упругости в перемещениях и вращениях для изотропных однородных материалов. Получены уравнения по отдельности векторов перемещений и вращений. Как частные случаи рассмотрены редуцированная и классическая среды. Выявлены случаи, при которых легко обратить оператор напряжения и моментного напряжения.
Из расщепленных уравнений классической (микрополярной) теории упругости получены соответствующие расщепленные уравнения квазистатической задачи теории призматических тел постоянной толщины в перемещениях (перемещениях и вращениях), из которых в свою очередь выведены уравнения в моментах неизвестных векторных функций относительно любых систем ортогональных полиномов. Получены системы уравнений различных приближений (с нулевого по восьмого порядка) в моментах относительно систем полиномов Лежандра и Чебышева второго рода, которые расщеплены и для каждого момента неизвестной векторной функции получено уравнение эллиптического типа высокого порядка. Используя метод Векуа для решения таких систем, можно получить их аналитическое решение.
Решены задачи различных приближений о тонком теле с двумя малыми размерами и прямоугольной тонкой плоской области (полосы) с защемленными краями при различных нагрузках, а также о двуслойной двумерной области с защемленными краями.