Объемы многогранников, узлов и зацеплений в пространствах постоянной кривизны

Вычисление объема многогранника — это классическая задача, известная со времен Евклида и не потерявшая актуальность в наши дни. Вероятно, первый результат в данном направлении принадлежит Тартальи (Tartaglia, 1499–1557), который нашел объем евклидова тетраэдра. В настоящее время этот результат известен как формула Кэли–Менгера. И. Х. Сабитов (1996) доказал, что объем любого евклидова многогранника — это корень алгебраического уравнения, коэффициенты которого являются целочисленными многочленами, зависящими от длин рёбер многогранника и его комбинаторного типа.
В гиперболическом и сферическом случаях ситуация более сложная. Формула объема для бипрямоугольного тетраэдра (ортосхемы) известна еще со времен Н. И. Лобачевского и Л. Шлефли. Объем куба Ламберта и некоторых других многогранников получены Р. Келлерхальц (1989), Д. А. Деревниным и докладчиком (2002), А. Ю. Весниным и Дж. Паркером (2004) и другими. Объемы гиперболических многогранников, имеющих хотя бы одну вершину на бесконечности, найдены Э. Б. Винбергом (1988).
Общая формула для объема тетраэдра в гиперболическом пространстве долгое время оставалась неизвестной. Недавно Ю. Чо, Х. Ким (1999), Дж. Мураками, У. Яно (2005) и А. Ушиджима (2003) получили такую формулу в виде линейной комбинации 16 дилогарифмических функций. В 2005 году Д. А. Деревнин и докладчик предложили элементарную интегральную формулу объема гиперболического тетраэдра. Отметим, что если многогранник обладает какой-либо нетривиальной симметрией, то формула для его объема существенно упрощается. Впервые этот замечательный факт был установлен самим Лобачевским (1904) для идеального гиперболического тетраэдра. Дж. Милнор (1982) представил соответствующий результат в весьма элегантной форме. В общем случае объем неевклидова тетраэдра с симметриями был найден Д. А. Деревниным, докладчиком и М. Г. Пашкевич (2004).
Удивительно, что более ста лет назад, в 1906 г., итальянский герцог Гаетано Сфорца нашел формулу для вычисления объема неевклидова тетраэдра. Этот факт приобрел известность после дискуссии докладчика с Хосе Монтезиносом на конференции в Эль Бурго д'Осма (Испания) в августе 2006 г. К сожалению, выдающаяся работа Сфорца до этого времени была полностью забыта.
В настоящем докладе излагается общий подход к вычислению объемов многогранников, обладающих нетривиальной симметрией, и даются его приложения к теории узлов и зацеплений.