Задача Эйлера об эластиках и субриманова задача на группе движений плоскости

Доклад будет посвящен двум связанным между собой инвариантным задачам оптимального управления на группе движений плоскости.
Первая задача заключается в минимизации функционала упругой энергии (интеграл от квадрата кривизны) на пространстве плоских кривых с фиксированными концами и касательными на концах. Критические точки этого функционала — эластики — были описаны Л. Эйлером в 1744 году. Будет рассказано о том, как определить, какие из этих критических точек являются точками минимума, локального или глобального. В частности, будет описано решение задачи об устойчивости эйлеровых эластик при фиксированных концах и направлениях на концах.
Вторая задача состоит в том, чтобы по заданным двум точкам на плоскости и двум векторам в этих точках найти кривую, выходящую из первой точки с первым касательным вектором и приходящую во вторую точку со вторым касательным вектором. При этом кривая должна иметь минимальную длину в пространстве $(x, y, \theta)$, где $x$, $y$ — координаты на плоскости, а $\theta$ — угол наклона касательного вектора кривой. Будет описано решение задачи: экстремальные кривые, их локальная и глобальная оптимальность, множество разреза, субримановы сферы и каустики.