Случаи полной интегрируемости в трансцендентных функциях в динамике твердого тела, взаимодействующего со средой

Введен в рассмотрение новый класс динамических систем, имеющих периодическую координату. Благодаря наличию в таких системах нетривиальных групп симметрий, показано, что рассматриваемые системы обладают так называемой переменной диссипацией, означающей, что в среднем за период по имеющейся периодической координаты диссипация в системе равна нулю, хотя в разных областях фазового пространства системы может присутствовать как подкачка энергии извне, так и ее рассеяние. На базе полученного материала проанализированы динамические системы, возникающие в плоской и пространственной динамике твердого тела, взаимодействующего со средой. В результате обнаружен целый спектр случаев полной интегрируемости уравнений движения в трансцендентных функциях и выражающихся через конечную комбинацию элементарных функций. В заключительной части работы получены некоторые обобщения на условия интегрируемости более общих классов неконсервативных динамических систем.
Результаты предлагаемой работы появились благодаря исследованию некоторой задачи о движении твердого тела в среде с сопротивлением, где пришлось иметь дело с первыми интегралами, обладающими нестандартными свойствами. А именно, они не были ни аналитическими, ни гладкими, а на некоторых множествах они были даже разрывными. При этом они выражались через конечную комбинацию элементарных функций. Последние обстоятельства, тем не менее, позволили-таки провести полный анализ всех фазовых траекторий и указать на те их свойства, который обладали “грубостью” и сохранялись для систем более общего вида, которые обладали некоторыми нетривиальными симметриями скрытого типа. Поэтому представляет интерес исследование достаточно широких классов динамических систем, обладающих аналогичными свойствами, и при этом взятыми из динамики твердого тела, взаимодействующего со средой.