Символы Леви–Чивиты, обобщенные векторные произведения и новые случаи интегрируемости в механике многомерного тела

Первые формальные обобщения соотношений динамики абсолютно твёрдого тела, гидромеханики и теории упругости на $n$-мерный случай можно найти ещё в работах Л. Эйлера и А.Ж.-К. Сен-Венана. Им не придавалось большого физического смысла и долгое время они воспринимались как упражнения по тензорной алгебре и анализу. Именно с таких позиций, например, ранее были получены динамические уравнения Эйлера $n$-мерного тела.
Тензорная природа многих физических соотношений в трехмерном пространстве, практическая значимость которых не подвергается сомнению, и такие важные особенности как их число, виды симметрии и ранг входящих в них величин, становятся понятными и очевидными лишь с выходом в большее число измерений. Это относится, например, к числу уравнений совместности деформаций или напряжений на плоскости или в трехмерном пространстве.
Необходимо заметить, что при обобщении на $n$-мерный случай, как, пожалуй, и при изложении всей классической механики, имеются два подхода, условно называемые тензорным и матричным. Первый из них удобен для понимания инвариантности механических величин и законов, в которых они участвуют. Второй чаще используется на вычислительном этапе решения задач, где важно найти подходящий способ дискретизации. О преимуществах обоих подходов в данной работе речь пойдёт ниже.
С точки зрения тензорного подхода все инвариантные физические величины можно разбить на две группы. В одну из них входят те тензорные объекты, ранг которых не зависит от размерности $n$ пространства, а зависит лишь диапазон изменения индексов в некоторой выбранной системе координат. Сюда относятся все скаляры, радиус-вектор, векторы скорости и ускорения, тензоры второго ранга деформаций и напряжений, тензор четвёртого ранга модулей упругости и многие другие объекты. Если в формулу входят только такие величины, то вид её при любом $n$ один и тот же.
К другой группе физических величин относятся тензорные объекты, ранг которых зависит от $n$. Это прежде всего угловая скорость, моменты, векторные потенциалы и другие величины, в выражения для которых входят векторные произведения, в частности, дифференциальный оператор ротор. Индексная запись соотношений, включающих такие величины, содержит $n$-мерный символ Леви–Чивиты, антисимметричный по любой паре своих $n$ индексов.
В работе даются определение обобщенного векторного произведения, обсуждаются его особенности, определение двойного векторного произведения в n-мерном пространстве, выводятся многомерные формулы Громеки–Лемба, уравнения Ламе, а также другие важные соотношения многомерного анализа.
Особое значение имеет изучение движения многомерного твердого тела с неподвижной точкой. Получены обобщенные формулы Эйлера и Ривальса, изучается гиперплоское движение многомерного тела, делаются замечания об описании инерционно-массовых характеристиках таких тел, в результате чего выводятся уравнения из многомерной динамики сплошной среды — уравнения совместности деформаций.
В динамике четырехмерного твердого тела, находящегося в неконсервативном силовом поле, получены новые случаи интегрируемости уравнений движения. При этом в некоторых случаях исследуемая система динамических уравнений редуцируется на касательное расслоение к трехмерной сфере.