$\Pi$-теорема теории размерностей (к 100-летию доказательства) (заседание в рамках научно-образовательной программы для школьников по механике, робототехнике и курсы повышения квалификации, СУНЦ МГУ)

Близится сто лет со времени доказательства одного из самых ярких и универсальных утверждений в механике и физике — $\Pi$-теоремы теории размерностей, позволяющей, не решая начально-краевых задач и даже не располагая математическими моделями явлений, а только из соображений размерности выводить зависимости одних величин от других. Как выясняется, конкретную дату столетия назвать трудно, поскольку в мировой литературе по истории механики на протяжении всего XX века не было единого мнения относительно авторства доказательства $\Pi$-теоремы.
В докладе рассказывается о размерностях физических величин, связанных с комбинациями единиц измерения — эталонных масштабов, служащих для измерения. Единицы измерения делятся на основные и производные. Вводятся классы систем единиц измерения как совокупности систем единиц измерения, отличающихся между собой только величиной, но не природой основных единиц. Формулируются леммы о степенном выражении размерности и об унарном выборе размерности. Определяется базис обезразмеривания как максимальный набор размерно независимых величин, через размерности которых степенным образом выражаются размерности всех остальных величин в задаче. Даётся формулировка $\Pi$-теоремы, с чисто математической точки зрения означающей, что в природе все физические законы, связывающие одни величины с другими, описываются обобщённо-однородными функциями.
В качестве иллюстраций приведён анализ размерностей в трех задачах: распространение возмущений при сильном точечном взрыве в атмосфере, обтекание неподвижного шара потоком вязкой жидкости и определение периода малых колебаний для математического маятника. Вводятся безразмерные числа Рейнольдса, Фруда, Струхаля. Затрагиваются вопросы масштабного моделирования и соблюдения критериев подобия в натурной и модельной системах.