К теориям тонких тел

Рассмотрены новые параметризации областей однослойного и многослойного тонких тел, при которых поперечная координата принимает значения из сегмента $[0,1]$, а также эффективная параметризация, при которой поперечная координата принимает значения из сегмента $[-1,1]$. Выбор таких параметризаций упрощает применение систем ортогональных полиномов Лежандра и Чебышева. Построено тензорное исчисление при этих параметризациях области тонкого тела. Введены в рассмотрение компоненты переноса, основные компоненты и компоненты контакта единичного тензора второго ранга (ЕТВР). Дано представление ЕТВР. С помощью компонент переноса ЕТВР осуществлена связь между различными семействами параметризаций. Компоненты переноса и компоненты ЕТВР, зависящие от поперечной координаты, представлены в виде рядов относительно этой координаты. Сформулированы фундаментальные теоремы для областей тонких тел.
Получены дополнительные рекуррентные соотношения для полиномов Лежандра и Чебышева, играющие важную роль при построении различных уточненных вариантов теорий тонких тел. Введены характерные для теорий тонких тел дифференциальные операторы и даны различные представления следующих дифференциальных операторов: градиента, повторного градиента, ротора, дивергенции, лапласиана, повторной дивергенции и градиента дивергенции. Построена теория моментов относительно полиномов Лежандра и Чебышева. В частности, получены моменты важных выражений и упомянутых выше дифференциальных операторов. Найдены выражения для момента k-го порядка произведения двух функций на произвольную степень поперечной координаты. Получены системы уравнений движения и притока тепла и определяющих соотношений физического и теплового содержаний в моментах для теории тонких тел. Выведены граничные и начальные условия в моментах. Рассмотрены несколько методов редукции бесконечной системы к конечной системе. Даны постановки связанной и несвязанной динамических задач в моментах приближения (r, N), а также нестационарной температурной задачи в моментах. Рассмотрены частные случаи постановок задач. При упрощенной схеме приведения бесконечной системы уравнений к конечной системе для любого приближенного решения в теоретически возможных случаях построено корректирующее слагаемое, учет которого обеспечивает выполнение граничных условий на лицевых поверхностях тонкого тела.
Работа выполнена при финансовой поддержке грантов РФФИ № 08-01-00353-а, № 08-01-00251-а.